天皇陛下がお気持ちを示されました。天皇は日本の象徴であり、政治に介入してはいけない。そのために、政治に影響が出ていませんよ、という非常に慎重な内容だったと思います。
生前退位は昔は行われていたものの、47年に制定された皇室典範では、生前退位についての記載がない様で、法律改正が必要になるようです。そこは、さくっと法律制定して問題はないと思うのですが、次の天皇は皇太子の徳仁殿下になり、その次の天皇は、その娘の愛子様になると考えるのが普通ですが、（定められた継承順では、悠仁様）天皇家は、男系男子の天皇を継続してきたため、愛子様が天皇になると、愛子様が天皇になった場合は、男系の女性天皇ですが、その次の天皇は女系天皇になってしまうのです。
http://www.kunaicho.go.jp/about/kosei/img/genealogy.jpg
※宮内庁HPより
個人的には、それは全く問題ないのではと思いますが、男系男子の血を守る、と考えている人たちにとって、それは、どうにかしなければいけない問題であると考えられます。
皇太子殿下が天皇になった次は、娘の愛子内親王ではなく、皇太子殿下の兄弟の秋四宮内親王になれば、その息子の悠仁内親王がいるので、それで男系男子の天皇の血筋を守ることが出来ます。
では、皇太子殿下が天皇になった後、誰が次の天皇を決めるか。通常の継承順位で言うと、息子になります。しかし、皇太子と雅子さまの間には、愛子様しかおりません。次は、悠仁様になる。
継承順参考https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9A%87%E4%BD%8D%E7%B6%99%E6%89%BF%E9%A0%86%E4%BD%8D
これが中世であったら、自分の娘を天皇にさせたいという勢力と、悠仁様を天皇にしたい勢力で争いが起きてもおかしくないのですが、現代では、権力はなく利害関係もないような気がするので（何かしらあるかもしれませんが）本来の継承順の悠仁様が次の次の天皇にスムーズになるのではないかと思います。
ただ、男系男子のルールは、男子を生まなくてはいけない厳しいプレッシャーになるだけのルールなのではないかと私は思うので、女性、女系天皇でも良しとした方が、もともと人権のない天皇家にとって、人としての尊厳を少しでも取り戻す要素になるのだろうと思っております。
いずれにせよ平和裏に継承が進むことを願っています。